Ξ
×

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya - Dalam bahasa matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu.

Bukan tepat di titik tertentu tersebut.

Jadi meskipun suatu fungsi tidak terdefinisi pada suatu titik, tetapi bisa jadi ia memiliki nilai limit pada titik tersebut.

Misalnya, fungsi aljabar $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ tidak memiliki nilai (arti) pada x=1 sebab f(1) memiliki nilai yang tidak tentu yaitu 0/0.

Apabila kita mengambil nilai-nilai x dari yang lebih besar dari 1 (dari arah kanan) dan lebih kecil dari 1 (dari arah kiri) mendekati 1 maka nilai f(x) tersebut cenderung mendekati nilai 2.

Nilai 2 ini disebut nilai limit dari fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ ketika x mendekati 1 dari arah kiri dan kanan.

Selanjutnya nilai limit dari fungsi tersebut disebut dengan limit fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$.

Secara matematika ditulis:

$$\lim_{x \rightarrow 1} f(x)= \frac{x^2-1}{x-1} =2$$

Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki nilai limit pada titik x=a apabila limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan.

Misalkan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri adalah $L_1$ dan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan adalah $L_2$.

Apabila $L_1 \neq L_2$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada. Sebaliknya, apabila $L_1 = L_2=L$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L.

Secara matematis, pengertian limit fungsi tersebut diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi Limit Fungsi

Suatu fungsi y=f(x) didefinisikan untuk x di sekitar a (selanjutnya a disebut titik limit), maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L$.

Dari definisi limit fungsi di atas, pencarian limit fungsi dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan numerik seperti menyusun tabel nilai fungsi dengan menggambil domain fungsi dari sebelah kiri dan kanan suatu titik limit;

dan pendekatan grafik fungsi yaitu melihat gambar grafik fungsi tersebut baik dari arah sebelah kiri maupun dari sebelah kanan titik limit untuk mengetahui secara intuisi nilai limit fungsi tersebut ada atau tidak ada.

Teorema Limit Utama

Berikut ini adalah teorema-teorema limit yang berguna dalam menentukan limit suatu fungsi.

Karena fungsi yang ingin ditentukan limitnya dapat berupa jumlah, selisi, kali, dan bagi dari fungsi-fungsi yang telah diketahui limitnya.

Karena jika kita hanya menggunakan pendekatan numerik atau grafik ini sangatlah tidak efisien dan efektif.

  1. Jika f(x)=k maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=k$ (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
  2. Jika k suatu konstan maka $\lim_{x \rightarrow a} k.f(x)=k \ \lim_{x \rightarrow a} f(x)$
  3. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) + \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
  4. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) - \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
  5. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) \times g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) \times \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
  6. $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)}$
  7. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x)]^n=[ \lim_{x \rightarrow a} f(x)]^n$
  8. $\lim_{x \rightarrow a} {^n\sqrt{f(x)}}= {^n\sqrt{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}}$

Limit Fungsi Aljabar f(x) di Titik a

Bentuk $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$

Menentukan $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ dengan f(x) fungsi aljabar dapat dilakukan dengan metode substitusi langsung yakni mencari nilai fungsi f(x) pada x=a asalkan f(x) memiliki nilai fungsi pada x=a.

Karena, jika f(x) memiliki nilai yang berarti pada x=a (terdefinisi pada x=a) maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$.

Jika f(x) tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak-tentu maka cara menyelesaikan soal limit fungsi tersebut dapat diselesaikan dengan tiga cara, yang dibahas di Cara Mudah Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar.

Limit Fungsi Aljabar Bentuk Pecahan (Fungsi Rasional) di Tak Hingga

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$

Untuk menentukan $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, pertama-tama kita harus memahami mengapa $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$.

Kita pahaminya secara intuisi bahwa jika 1 dibagi bilangan yang banyak menuju tak-hingga maka hasilnya cenderung menuju 0.

Perhatikan gambar grafik fungsi $f(x)= \frac{1}{x}$ berikut ini, ketika $x \rightarrow \infty$ maka $f(x) \rightarrow 0$

Gambar Grafik $f(x) = \frac{1}{x}$

Karena $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$ maka untuk setiap n bilangan positif dan a bilangan real, $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^n}=0$.

Dengan pengetahuan ini, menentukan limit fungsi aljabar berbentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$  (bentuk tertentu) dilakukan dengan cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan $x^n$, dimana n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x).

Contoh Soal Limit Fungsi Rasional di Tak Hingga

Contoh Soal 1:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+3x-1}{x+2}$

Penyelesaian:

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+3x-1}{x+2} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x^2+3x-1}{x^2}}{\frac{x+2}{x^2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2+\frac{3}{x}- \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}} \\ &=  \infty \end{align}$

Contoh Soal 2:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(1-2x)^2}{\sqrt{8x^4-1}}$

Penyelesaian:

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ (1-2x)^2}{\sqrt{8x^4-1}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{(1-2x)^2}{x^2}}{\frac{\sqrt{8x^4-1}}{x^2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1-2x}{x})^2}{\frac{\sqrt{8x^4-1}}{\sqrt{x^4}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{x}- 2)^2}{\sqrt{8- \frac{1}{x^4}}} \\ &= \frac{4}{ \sqrt{8}} \\ &= \frac{4}{ 2 \sqrt{2}} \\ &= \frac{2}{ \sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} \end{align}$

Limit Fungsi Aljabar Bentuk Akar $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}$ di Tak Hingga

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}]$

Limit fungsi yang berbentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}]$ dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu $\frac{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}$;

sehingga menjadi bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{j(x)}{k(x)}$.

Contoh Soal Limit Fungsi Bentuk Akar $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}$

$\lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5}]$

Penyelesaian:

$\begin{align} & \lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5} \ ]  \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5} ] \times \frac{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{{2x-1} – (3x+5)}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x-6}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} = – \infty \end{align}$

Limit Fungsi Aljabar Bentuk Akar $\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r}$ di Tak Hingga

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} \ ]$

Bentuk ini sering muncul dalam soal ujian nasional SMA/sederajat dan dapat diselesaikan dengan cepat menggunakan ketentuan sebagai berikut.

1. Jika a=p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = \frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

2. Jika a>p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = \infty$

3. Jika a<p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = -\infty$

Contoh Soal Limit Fungsi Bentuk Akar $\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r}$ di Tak Hingga

Hitunglah $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{3x^2-4x+8} – \sqrt{3x^2-2x+7}]$

Penyelesaian:

Karena a=p maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{3x^2-4x+8} – \sqrt{3x^2-2x+7}] &= \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ &=\frac{-4-(-2)}{2\sqrt{3}} \\ &=\frac{-2}{2\sqrt{3}} \\ &= - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{align}$

Demikian Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya, semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya"