Ξ
×

Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawabannya

Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawabannya - Berikut ini contoh soal induksi matematika, jawaban, dan pembahasannya.

#1 Contoh Soal Induksi Matematika Pertama

Contoh soal 1:

Buktikan bahwa $1+3+5+...+2n-1=n^2$

Contoh soal 2:

Buktikan bahwa $n! \le n^n$ untuk semua n bilangan asli ($n \ge 1$)

Contoh soal 3:

Buktikan bahwa untuk $2^n < n!$ untuk $n \ge 4$

#2 Contoh Soal Induksi Matematika Kedua

Contoh soal 4:

Buktikan bahwa $(2+ \sqrt{3})^n + (2 – \sqrt{3})^n$ selalu merupakan bilangan bulat untuk n $\in N$.

#3 Pembahasan Materi Induksi Matematika

Kita mengenal dua pola berpikir, yaitu berpikir secara induktif dan deduktif.

Proses berpikir induktif yaitu berpola dari khusus ke umum, dilakukan dengan cara diawali dari premis-premis yang benar (atau dibuktikan benar) kemudian ditarik sebuah kesimpulan yang berlaku benar pula untuk semua kasus (bersifat menggeneralisasi).

Semakin luas cakupan kasusnya maka pernyataan tersebut semakin berarti. Cara berpikir induksi dapat diilustrasikan melalui gambar di bawah ini.

Di dalam soal-soal matematika, yang dimaksud soal induksi matematika adalah pembuktian terhadap pernyataan-pernyataan dalam bentuk n dimana n bilangan asli.

Kita misalkan kumpulan pernyataan tersebut dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan yakni {P(n) : n $ \in N$}.

Untuk membuktikan suatu pernyataan P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, tentu kita harus dapat membuktikan pernyataan tersebut berlaku untuk semua n.

Apabila pernyataan tersebut dibatasi misalnya pada $n \ge a$ maka harus dapat ditunjukkan pernyataan P(n) benar untuk semua $ n \ge a$.

Karena bilangan asli ada banyak sekali (tak hingga) maka perlu dikembangkan suatu cara yang dapat menggeneralisasi.

Hal ini dilakukan dengan cara menggunakan variabel sebagai refresentatif dari semua anggota himpunan bilangan asli yang dibicarakan tersebut dengan dua prinsip induksi matematika yang akan dibahas berikut ini.

Prinsip Induksi Matematika Pertama

Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(n=1) benar; dan jika P(n=k) benar mengakibatkan P(n=k+1) juga benar; Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Modifikasi Prinsip Induksi Matematika Pertama

Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(a) benar untuk suatu bilangan asli a, dan jika P(k) benar mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli  $n \ge a$.

Langkah-langkah Pembuktian dengan Induksi Matematika

Dengan prinsip induksi matematika di atas, untuk membuktikan pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli dengan $n \ge a$, kita lakukan dengan dua langkah berikut ini.

Langkah pertama: Tunjukkan P(n) benar untuk n=a.

Langkah kedua: Tunjukkan jika P(n) benar untuk n=k mengakibatkan P(n) juga benar untuk n=k+1.

Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan asli $n \ge a$.

Prinsip Induksi Matematika Kedua

Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(1) benar, dan jika P(m) benar untuk setiap $m \le k$ mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

#4 Jawaban Soal Induksi Matematika

Berikut ini adalah jawaban soal induksi matematika no. 1, 2, 3, dan 4.

Jawaban Soal No. 1

Buktikan bahwa $1+3+5+...+2n-1=n^2$

Misalkan P(n): $1+3+5+...+2n-1=n^2$.

Langkah Pertama:

Untuk $n=1$ maka $2(1)-1=1^2$ (benar). Jadi P(1) bernilai benar.

Langkah Kedua:

Jika $n=k$ benar maka $n=k+1$ juga benar, yaitu:

$$\begin{align} & 1+3+5+...+(2k-1) = k^2 \\ \Leftrightarrow & 1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k^2+(2k+1) \\ \Leftrightarrow & 1+3+5+...+(2k-1)+2(k+1)-1 = (k+1)^2 \end{align}$$

Jadi, jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar.

Kesimpulan:

$1+3+5+...+2n-1=n^2$ benar untuk setiap n.

Jawaban Soal No. 2

Buktikan bahwa $n! \le n^n$ untuk semua n bilangan asli ($n \ge 1$)

Misalkan P(n): $n! \le n^n$.

Langkah Pertama:

Untuk n=1 maka $1! \le 1^1 \Leftrightarrow 1 \le 1 $. Perhatikan $1 \le 1 $ bernilai benar, maka  P(1) bernilai benar.

Langkah Kedua:

Jika P(k) benar untuk k sebarang bilangan asli akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar:

$$\begin{align} k! & \le k^k \\ (k+1)k! & \le (k+1)k^k < (k+1)(k+1)^k \\ (k+1)! & < (k+1)(k+1)^k \\ (k+1)! & < (k+1)^{k+1} \end{align} $$

Jadi, jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar.

Kesimpulan:

Karena untuk P(k) yang diandaikan benar mengimplikasikan P(k+1) juga benar, maka disimpulkan $n! \le n^n$ benar untuk setiap n.

Jawaban Soal No. 3

Buktikan bahwa untuk $2^n < n!$ untuk $n \ge 4$

Misalkan P(n): $2^n < n!$. 

Langkah Pertama:

Untuk n=4 maka $2^4 < 4! \Leftrightarrow 16 < 24 $. Jadi, P(4) bernilai benar.

Langkah Kedua:

Andaikan P(k) benar untuk  sebarang $k \ge 4$ akan ditunjukkan P(k+1) juga benar:

$$\begin{align} 2^k &< k! \\ 2.2^k &< 2.k! < (k+1)k!  \\ 2.2^k &< (k+1)k! \\ 2^{k+1} &< (k+1)!  \end{align}$$

Jadi, jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar.

Kesimpulan:

Karena P(k) yang diandaikan benar mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka disimpulkan $2^n < n!$ benar untuk setiap $n \ge 4$.

Jawaban Soal No. 4

Buktikan bahwa $(2+ \sqrt{3})^n + (2 – \sqrt{3})^n$ selalu merupakan bilangan bulat untuk n $\in N$.

Kita lakukan dua langkah.

Langkah Pertama:

Untuk n=1, maka $(2+ \sqrt{3})^1 + (2 – \sqrt{3})^1=4$ merupakan bilangan bulat.

Jadi pernyataan benar untuk n=1.

Langkah Kedua:

Jika k bilangan asli, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli $m \le k$, artinya $(2+ \sqrt{3})^m + (2 – \sqrt{3})^m$ suatu bilangan bulat untuk semua bilangan asli $m \le k$.

Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa $(2+ \sqrt{3})^{k+1} + (2 – \sqrt{3})^{k+1}$ juga bilangan bulat.

Tetapi,

$\begin{align}a^{k+1}+b^{k+1} &= (a^k+b^k)(a+b)-ab^k-ba^k \\ &=(a^k+b^k)(a+b)-ab(a^{k-1}+b^{k-1}) \end{align}$

dengan $a=2+\sqrt{3}$ dan $b=2-\sqrt{3}$.

Kita dapat menguji langsung bahwa ab bilangan bulat.

Berdasarkan asumsi bahwa $a^k+b^k$, $a^{k-1}+b^{k-1}$ dan $a+b$ bilangan bulat, maka $a^{k+1}+b^{k+1}$ juga bilangan bulat.

Kesimpulan:

Berdasarkan prinsip induksi, kita telah membuktikan pernyataan yang diminta.


REFERENSI
  • Setya Budhi, Wono. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV Ricardo. (hal.: 59-64)
  • Raji, Wissam. “An Introductory Course in Elementary Number Theory.” Ebook.

Posting Komentar untuk "Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawabannya"