Ξ
×

Soal No. 10 OSK Matematika SMA 2019

Berikut ini adalah Soal No. 10 OSK Matematika SMA 2019 (Soal No. 10 Kemampuan Dasar)

10. Untuk sebarang bilangan real x, simbol $ \lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada x, sedangkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dibanding x. Interval [a, b) adalah himpunan semua bilangan real x yang memenuhi $\lfloor 2x \rfloor ^2 = \lceil x \rceil +7$. Nilai a · b adalah ...

Jawaban:

Kasus I:

Misalkan, $x=z$ dengan z bilangan bulat, maka:

${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$

${{(2z)}^{2}}=z+7$

$4{{z}^{2}}-z+7=0$

Uji nilai diskriminan:

$D={{b}^{2}}-4ac$

$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-7)=113$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.

Kasus II:

Misalkan, $x$ bukan bilangan bulat, maka: $x=z+p$ dengan $z\in $ bilangan bulat dan $0 \le p \le \frac{1}{2}$

$x=z+\frac{1}{2}$ substitusi ke:

${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$

${{\left\lfloor 2\left( z+\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z+\frac{1}{2} \right\rceil +7$

${{(2z)}^{2}}=z+1+7$

$4{{z}^{2}}-z-8=0$

Uji nilai diskriminan:

$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-8)=129$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.

Kasus III:

Misalkan, $x$ bukan bilangan bulat, maka:

$x=z-p$ dengan $z\in $ bilangan bulat dan $0 \le p\le \frac{1}{2}$ $x=z-\frac{1}{2}$ substitusi ke:

${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$

${{\left\lfloor 2\left( z-\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z-\frac{1}{2} \right\rceil +7$

${{(2z-1)}^{2}}=z+7$

$4{{z}^{2}}-4z+1=z+7$

$4{{z}^{2}}-5z-6=0$

$(4z+3)(z-2)=0$,

karena z bilangan bulat maka yang memenuhi adalah z = 2.

Untuk z = 2 agar x minimum maka:

$x=z-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1,5=a$

Untuk z = 2 agar x maksimum maka:

$x=z-0\Leftrightarrow x=2=b$

Jadi, $a.b=1,5\times 2=3$

Sumber Jawaban: https://www.catatanmatematika.com/2019/03/pembahasan-osk-matematika-sma-tahun-2019.html

Posting Komentar untuk "Soal No. 10 OSK Matematika SMA 2019"